答案中有一步关于xsin눀x在0到π上的定积分看不懂

定积分值= -π/3 +π= 2π/3。

解题过程如下：

∫x *(sinx)^3 dx

=-∫ x *(sinx)^2 d(cosx)

= ∫ x *(cosx)^2 -x d(cosx)

而显然

∫ x *(cosx)^2 d(cosx)

=1/3 *∫ x d(cosx)^3

= x/3 *(cosx)^3 -∫1/3 *(cosx)^3dx

= x/3 *(cosx)^3 -∫1/3 *(cosx)^2 d(sinx)

= x/3 *(cosx)^3 -∫1/3 -(sinx)^2 /3 d(sinx)

= x/3 *(cosx)^3 -1/3 *sinx +1/9 *(sinx)^3

∫-x d(cosx)

= -x *cosx +∫cosx dx

= -x *cosx +sinx

二者相加得到

∫x *(sinx)^3 dx

= x/3 *(cosx)^3 +2/3 *sinx +1/9 *(sinx)^3 -x *cosx

代入上下限π和0，

定积分值= -π/3 +π= 2π/3

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C