已知，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一

直接回答你的问题：
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC（平行四边形对边平行）
∵AE⊥BE（已知），GM⊥AE（所做）
∴∠AEC=∠AMG=90°
∴GM∥BC（同位角相等）
∴GM∥BC∥BC（一条直线平行于另一条直线，也平行于它的平行线）
你的证明有点繁琐，主要是辅助线做不好，应该做：GM∥BC！这样证明简单。试述如下：
证明：做GM∥BC交AE于M
1，在△DCF和△ECG中（证明：G是CD中点）
∵∠1=∠2（已知），∠C为公用角，CD=CE（已知）
∴△DCF≌△ECG（两角夹边相等，两三角形全等），
∴CG=CF，（全等三角形对应边相等）
2，（证明：M是AE中点，且∠CEG=∠MGE）
∵GM∥BC（所做）
∴∠CEG=∠MGE（平行线与第三条直线相交，内错角相等）
且：AM=ME（平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。）
3，在△AGE中（证明△AGE是等腰三角形，且GM是∠AGE的平分线）
∵AE⊥BC（已知）
∴AE⊥GM（一条直线垂直于另一条直线，也垂直于它的平行线），
∴AG=EG（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴△AGE是等腰三角形（两边相等的三角形是等腰三角形）
∴∠MGA=∠MGE（等腰三角形底边的中线也是顶角的平分线）
∴∠CEG=2∠MGE

AD∥GM∥BC的原因前面已经说明，就是同垂直一条直线AE
AD∥BC，所以四边形AECD为梯形
G为CD中点，且有GM平行梯形底边，则GM就是梯形AECD的中位线
（中位线作法：1、连接梯形两腰中点。2、从一腰中点作底边平行线）
因此M是另一腰AE中点
GM⊥AE（已作），所以GM是△AEG的高
同时GM也是中线，所以根据三线合一，△AEG为等腰三角形，AG=EG
因此GM也是三角形角平分线
题目中叙述的“∴AM=EM”估计是印错了，M为AE中点即可得到AM=EM
无须GM⊥AE，所以估计结论是AG=EG