分别以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形△ABD和ACE。求证BE=DC，BE⊥CD

∵等腰RT△ADB,△AEC ∴AE=AC,AD=AB 又∵AD⊥AB,AE⊥AC ∴∠DAB=∠EAC=90° ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC ∴∠DAC=∠EAB ∵AE=AC,∠DAC=∠EAB,AD=AB ∴△EAB≌△CAD(SAS) ∴①CD=BE 又∵∠EAB=∠ACD,对顶角相等,∠EAB+其中一个对顶角= ∠ACD+另一个对顶角=90° ∴∠EFC=90° 即②CD⊥BE 图在:

图是我画的这样的么？

如果差不多的话，那么证法如下：

1 因为AD=AB AE=AC 角DAC=角BAE=90度+角BAC

  所以△DAC全等于△BAE

  所以BE=DC

2 设BE,CD交与点0 

  因为△DAC全等于△BAE

  所以角ADC=角ABE

  因为角DAB为90度

  所以角ADB+角ABD=90度

  上面知角ADC=角ABE

  所以角ADB-角ADC+角ABD+角ABE=90度

  所以角D0B=180度-90度=90度

  所以BE⊥CD

证明：
（1）
∵△ADB,△AEC 是等腰直角三角形
∴AE=AC,AD=AB
又∵AD⊥AB,AE⊥AC
∴∠DAB=∠EAC=90°
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC
即∠CAD=∠EAB
∵AE=AC,∠DAC=∠EAB,AD=AB
∴△EAB≌△CAD(SAS)
∴CD=BE
（2）由（1）得△EAB≌△CAD
则∠ADM=∠EBM（M为CD与AB的交点）
∵∠ADM+∠AMD=90°
∴∠ABE+∠BMC=90°
∴CD⊥BE

证明：
（1）在△ADC和△ABE中，
AB=AD,AE=AC,∠DAB+∠BAC=∠DAC=∠BAE=∠CAE+∠BAC=90°+∠BAC,
用边角边定理得到，△ADC和△ABE全等，从而，BE=DC。
（2）BA和CD相交于O，BE和CD相交于P,
在△DAO和△BPO中，
∵△ADC和△ABE全等，
∴∠ODA=∠OBP
又因为∠DOA=BOP（对顶角），所以剩余的一个角相等：∠DAO=∠BPO
所以△DAB是直角三角形，∠DAO=90°=∠BPO
故垂直。

证明：BAD=EAC=90度，BAD-BAC=EAC-BAC
EAB=CAD,由于AD=AB,AC=AE
△ABD相似△ACE,BE=DC
BDA=ABE=ABC=45°
ABE+ABC=90°
故BE⊥CD