阿Q吧 > 已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）

2025-06-20 13:25:02

推荐回答（1个）

回答1：

（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，
故f′（e）=3，
即a+lne+1=3，
∴a=1．
（2）∵ g(x)=

x+xlnx

2(x+1)

-k
=1+lnx+

2(x+1)

-k(x＞0) ，
∴ g ′ (x)=

2(x+1 ) 2

(2x-1)(x-2)

2x(x+1 ) 2

，（x＞0）
令g′（x）=0，解得 x=

，或x=2，
列表如下

（0，

）

（

，2 ）

（2，+∞）

g′（x）

g（x）

↑

极大值
4-ln2-k

↓

极小值

+ln2-k

↑

由于x→0时，g（x）→-∞，x→+∞，g（x）→+∞，
要使g（x）仅有一个零点，则必须

4-ln2-k＜0

+ln2-k＜0

，或

+ln2-k＞0

4-ln2-k＞0

，
∴k＞4-ln2，或k＜

+ln2 ，
∴k∈ (-∞，

+ln2)∪(4-ln2，+∞) ．
（3）由x+xlnx＞t（x-1）在x＞1时恒成立，
即t＜

x+xlnx-2

x-1

在x＞1恒成立，
令p（x）=

x+xlnx

x-1

（x＞1）， p ′ (x)=

x-lnx-2

(x-1 ) 2

，
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
则 h ′ (x)=1-

x-1

＞0 ，
∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，
h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x₀ ，且满足x₀ ∈（3，4），
当x∈（1，x₀ ）时，h（x）＜0，∴ p ′ (x)=

x-lnx-2

(x-1 ) 2

＜0 ，
函数p（x）在（1，x₀ ）上单调递减，
当x∈（x₀ ，+∞）时，h（x）＞0，∴ p ′ (x)=

x-lnx-2

(x-1 ) 2

＞0 ，
函数p（x）在（1，x₀ ）上单调递增，
∴ p(x ) min =p( x 0 )=

x 0 (1+ln x 0 )

x 0 -1

，
∵h（x₀ ）=0，即x₀ -lnx₀ -2=0，
∴lnx₀ =x₀ -2．
∴ p(x ) min =p( x 0 )=

x 0 (1+ln x 0 )

x 0 -1

=x₀ ∈（3，4），
∴t＜ p(x ) min =p( x 0 )=

x 0 (1+ln x 0 )

x 0 -1

=x₀ ∈（3，4），
故t的最大值为3．