(2014?兴化市一模)如图,BC是半⊙O的直径,点P是半圆弧的中点,点A是弧BP的中点,AD⊥BC于D,连结AB、P

2025-06-21 06:00:52
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回答1:

(1)BE=EF,
理由是:∵BC是直径,AD⊥BC,
∴∠BAC=∠ADC=90°,
∴∠BAD=∠ACB,
∵A为弧BP中点,
∴∠ABP=∠ACB,
∴∠BAD=∠ABP,
∴BE=AE,∠FAD=∠AFB,
∴EF=AE,
∴BE=EF;

(2)小李的发现是正确的,
理由是:延长BA、CP,两线交于G,
∵P为半圆弧的中点,A是弧BP的中点,
∴∠PCF=∠GBP,∠CPF=∠BPG=90°,BP=PC,
在△PCF和△PBG中,

∠PCF=∠PBG
PC=BP
∠CPF=∠BPG

∴△PCF≌△PBG(ASA),
∴CF=BG,
∵BC为直径,
∴∠BAC=°,
∵A为弧BP中点,
∴∠GCA=∠BCA,
在△BAC和△GAC中
∠CAB=∠CAG
AC=AC
∠BCA=∠GCA

∴△BAC≌△GAC(ASA),
∴AG=AB=
1
2
BG,
∴CF=2AB;

(3)连接OA交BP于H,
∵A为弧BP的中点,
∴OA⊥BP,
∵∠BPC=90°,
∴OA∥CP,
∴△AHF∽△CPF,
AF
CF
=
AH
CP

设OA=r,BC=2r,
∵BP=CP,∠BPC=90°,
∴PC=
2
r

∵OA∥CP,BO=OC,
∴OH=
1
2
CP=
2
2
r
,AH=