（I）易知函数的定义域为R．
f′(x)＝(
)′ex+1?x 1+x2
ex=1?x 1+x2
ex+
x2?2x?1 (1+x2)2
ex=1?x 1+x2
ex，?x[(x?1)2+2] (1+x2)2
当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（II）当x＜1时，由于
＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．1?x 1+x2
当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．
由（I）可知：x1∈（-∞，0），x2∈（0，1）．
下面证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即证
ex＜1?x 1+x2
e?x．此不等式等价于(1?x)ex?1+x 1+x2
＜0．1+x ex
令g（x）=(1?x)ex?
，则g′（x）=-xe-x（e2x-1）．1+x ex
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即(1?x)ex?
＜0．1+x ex
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（-x2）．
从而，f（x1）＜f（-x2）．
由于x1，-x2∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴x1＜-x2，即x1+x2＜0．
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