已知椭圆C 1 ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的短轴长为

2025-06-20 16:47:51

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回答1：

（1）由2b=2，得b=1． …（1分）
由

，得

a 2 -1

a 2

， a 2 =2 ． …（2分）
∴椭圆C₁ 的方程是

x 2

+ y 2 =1 ． …（3分）
依题意有 1+

=2 ，得p=2，…（4分）
∴抛物线C₂ 的方程是y² =4x．…（5分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n．
由直线l与椭圆C₁ 相切，可得 n=±

；
由直线与抛物线C₂ 相切得n=0．
∴此时符合题设条件的直线l不存在．…（7分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n …（8分）
当直线l与椭圆C₁ 相切时，联立

x 2

+ y 2 =1

y=kx+n

，得（1+2k² ）x² +4knx+2n² -2=0，
由 △ 1 =(4kn ) 2 -4(1+2 k 2 )(2 n 2 -2)=0 ，得n² =2k² +1，…（10分）
当直线l与抛物线C₂ 相切时，联立

y 2 =4x

y=kx+n

，得k² x² +2（kn-2）x+n² =0，
由 △ 2 =[2(kn-2) ] 2 -4 k 2 n 2 =0 ，得kn=1，…（12分）
联立

n 2 =2 k 2 +1

kn=1

，解得 k=

，n=

或 k=-

， n=-

．…（13分）
综上，直线l的方程为 y=±

(x+2) ．…（14分）