在一对实值函数u(x,y)和v(x,y)上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：(1a) əu/əx=əv/əy 和(1b) əu/əy=-əv/əx柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。通常，u和v取为一个复函数的实部和虚部：f(x+ iy) = u(x,y) + iv(x,y)。假设u和v在开集C上连续可微。则f=u+iv是全纯的，当且仅当u和v的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)。
