如图，O是直角坐标原点，A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB并与AB相交于

2025-06-20 11:44:35

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回答1：

根据条件，设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（2pt₁²，2pt₁），（2pt₂²，2pt₂），t₁≠t₂，且t₁t₂≠0，
则

＝(x，y)，

＝(2pt12，2pt1)，

＝(2pt22，2pt2)，

＝(2p(t22?t12)，2p(t2?t1))，
∵

⊥

，∴

＝0，
即（2pt₁t₂）²+（2p）²t₁t₂=0．
∴t₁t₂=-1．
∵

⊥

，∴2px（t₂²-t₁²）+2py（t₂-t₁）=0，
∴t1+t2＝?

(x≠0)，
∵

＝(x?2pt12，y?2pt1)，

＝(2pt22?x，2pt2?y)，且A，M，B共线，
∴（x-2pt₁²）（2pt₂-y）=（y-2pt₁）（2pt₂²-x），
化简得y（t₁+t₂）-2pt₁t₂-x=0，
由此可知M点的轨迹方程为x²+y²-2px=0，（x≠0）．