求曲面az=a^2-x^2-y^2 与平面 x+y+z=a（a>0）以及三个坐标面所围成立体的体积

这题是可以通过分析想象出图形的，平面x+y+z=a很好想象，关键是曲面az=a^2-x^2-y^2，首先考虑用平行于xoy的平面截曲面所得的图形，这时z是常数，因此截面x^2+y^2=a^2-az是圆，再考虑曲面在yoz平面上的投影，这时x=0，因此投影为y^2=a^2-az为开口向下的抛物线，综合两点就可以想象出这个曲面是一个倒立的抛物面（注意虽然这曲面和x,y,z轴的交点都是a，但这不是球面！考察在交点处的曲率就会发现它们是不同的）。现在所求体积就等于抛物面在第一卦限的体积减去锥体的体积，锥体体积=a^3/6，现在用三重积分求抛物面所围体积，用“先二后一”的方法，该体积=(1/4)∫dz∫∫dxdy，z积分限为0到a，而∫∫dxdy就等于抛物面被平行于xoy的平面截得的面积（注意所得结果是含有z的）。由x^2+y^2=a^2-az知∫∫dxdy=π(a^2-az)，积分得这部分体积=πa^3/8，因此所求体积=(π/8-1/6)a^3

设重心m(x0,y0,z0)
两个曲面联立得到az=z^2
所以z1=0,z2=a为所围成的立体z的范围。
所围成的立体的外侧，是az=x^2+y^2,
水平截面可以表示为(r1)^2=az的圆。
内侧是z=(x^2+y^2)^(-1/2)，水平截面可以表示为r2=z的圆。
因为对称性，所以x0=y0=0
下面求z0
设a=∫∫∫dv=∫dz∫∫dxdy=∫(0->a)dz
*[π(r1)^2-π(r2)^2]
=π∫(0->a)
(az-z^2)dz
=πa^3/6
b=∫∫∫zdv=∫zdz
∫∫dxdy=∫(0->a)
zdz
*[π(r1)^2-π(r2)^2]
=π∫(0->a)
z(az-z^2)dz
=πa^4/12
所以z0=b/a=a/2
所以中心m(0,0,a/2)
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