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已知函数，f（x）= x 3x+1 ，数列{a n }满足a 1 =1，a n+1 =f（a n ）（n∈N * ）（I）求证数
已知函数，f（x）= x 3x+1 ，数列{a n }满足a 1 =1，a n+1 =f（a n ）（n∈N * ）（I）求证数
2025-06-21 13:23:28
推荐回答（1个）
回答1：
（I）由条件得，
a
n+1
=
a
n
3
a
n
+1
．
∴
1
a
n+1
=
1
a
n
+3
?
1
a
n+1
-
1
a
n
=3．
∴数列{
1
a
n
}是首项为
1
a
1
=1，公差d=3的等差数列．
∴
1
a
n
=1+（n-1）×3=3n-2．
故a
n
=
1
3n-2
．
（II）∵a
n
a
n+1
=
1
(3n-2)(3n+1)
=
1
3
（
1
3n-2
-
1
3n+1
）．
∴S
n
═a
1
a
2
+a
2
a
3
+..a
n
a
n+1
=
1
3
[（1-
1
4
）+（
1
4
-
1
7
）+…+（
1
3n-2
-
1
3n+1
）]
=
1
3
（1-
1
3n+1
）=
n
3n+1
．
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