对于函数f(x)=log1⼀2x与g(x)1⼀2的x次方在区间(0,正无穷)上的递减情况

（1）变形函数式f(x)=[(2x-1)+2]/(2x-1)=1+2/(2x-1)
令1/2则f(x2)-f(x1)=2/(2x2-1)-2/(2x1-1)=4(x1-x2)/[(2x2-1)(2x1-1)]
因x1-x2<0
且2x1-1>0，2x2-1>0
则f(x2)-f(x1)<0
表明函数f(x)在区间(1/2，+∞)上单调递减

（2）因不等式f(x)>lgx+m恒成立
即m令g(x)=f(x)-lgx=1+2/(2x-1)-lgx

注意到f(x)在区间(1/2，+∞)上单调递减
即有f(x)在区间(1,10)上为减函数
同时注意到函数y=lgx在区间(0，+∞)上单调递增
则函数y=-lgx在区间(0，+∞)上单调递减
于是函数y=-lgx在区间(1,10)上为减函数
由此易知g(x)在区间(1,10)上为减函数
（当然可以采用其它方法（如定义法，导数法等）来判断g(x)的单调性）
则有g(10)易知g(10)=1+2/(2*10-1)-lg10=2/19，g(1)=1+2/(2*1-1)-lg1=3
即有2/19
要使m即要使m必有m≤2/19
所以m的取值范围为(-∞，2/19]