正实数a1 a2 满足 [a1]^2+[a2]^2=1, 会有 a1+a2≤√2. 若 n 个正实数 [a1]^2+[a2]^2+[a3]^2 + .. +[an]^2=

[a1]^2+[a2]^2≥(a1+a2)^2/(1+1)
(a1+a2)^2≤2
a1+a2≤√2
因 1=[a1]^2+[a2]^2+[a3]^2 + .. +[an]^2≥(a1+a2+...+an)^2/(1+1+...+1)(n个1)(柯西不等式)
则(a1+a2+...+an)^2≤n
所以a1+a2+...+an≤√n

用柯西不等式，
（a1+a2+a3 + .. +an）^2
≤ ([a1]^2+[a2]^2+[a3]^2 + .. +[an]^2)(1^2+1^2+ .. +1^2)
= n([a1]^2+[a2]^2+[a3]^2 + .. +[an]^2)=n
所以 a1+a2+a3 + .. +an≤√n , 等号当且仅当 a1=a2=a3= .. =an。

3个的时候是对的<=根号3
令
a1=cosAsinB
a2=sinAsinB
a3=cosB
A,B都在0到pi/2之间
那么a1+a2+a3=sinB (cosA+sinA)+cosB
≤√2 sinB+cosB
........................................下面显然
如何证明n个的,我不会!
也许需要用数学归纳法.