（1）DE+DF=BG
证明：
作DH⊥BG于H
∵BG⊥AC
∴DH//AC
∴∠HDB =∠C
∵DF ⊥AC
∴四边形DFGH为矩形
∴DF=HG
∵AB=AC
∴∠EBD=∠C=∠HDB
∵DE⊥AB
∴∠BED=∠DHB=90º
又∵BD=DB
∴⊿BED≌⊿DHB（AAS）
∴DE=BH
∴DE+DF=BH+HG=BG
（2）DE-DF=BG
证明：
作DH⊥BG交BG延长线于H
∵BG⊥AC
∴DH//AC
∴∠HDB =∠ACB
∵DF ⊥AC
∴四边形DFGH为矩形
∴DF=HG
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=∠HDB
∵DE⊥AB
∴∠BED=∠DHB=90º
又∵BD=DB
∴⊿BED≌⊿DHB（AAS）
∴DE=BH
∴DE-DF=BH-HG=BG
很明显 d为bc的中点，则 ，DE=DF,三角形dfc与bgc形似可知，BG=2DF,SO: BG=DE+DF
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