如图,P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC,PF⊥BC,E,F分别是垂足,求证：AP=EF。

证明：因为四边形ABCD是正方形
所以BD平分角ADC
BD平分角ABC
做PG垂直于AD垂足为G
做PH垂直于AB垂足为H
所以PG=PE
PH=PF
因为PG垂直于AD
PH垂直于AB
所以角AGP=90度
角AHP=90度
因为在四边形AGHP中AGP=90度
角AHP=90度
角HAG=90度
所以四边形AGHP为长方形
因为PG=PE
PH=PF
所以长方形AGHP与长方形CEFP全等
所以AP=EF

这道题用代数方法做比几何简单。
设B的坐标为原点（0），
P的坐标为（x，x)
A的坐标为（0,1)
E的坐标为（1，x)
F的坐标为(x,0)
EF = 根号((1-x)^2 + x^2)
AP = 根号(x^2+（1-x）^2) = EF

过p做AB的垂线PG，可以知道四边形PGBF是长方形，所以有PG=BF，且知道CD=BC，DE=FC，所以EC=BF=BG，所以三角形APG与三角形EFC相似，所以AP=EF

延长EP与AB交与点M，BMPF为正方形，那么PM=PF，(1)
又由于BM=BF,故AM=CF=EP， (2)
又角AMP=角EPF=90度， （3）
三个条件推出三角形AMP与三角形EPF全等，故AP=EF. 得证。

证明:连PC,
因为PE⊥CD,
所以∠PEC=90
因为PF⊥BC
所以∠PFC=90，
因为正方形ABCD中，∠B=90
所以四边形FCEF是矩形
所以PC=EF
因为AB=BC,∠ABP=∠CBP,BP=BP
所以△ABP≌△CBP
所以AP=PC
所以AP=EF