设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx．（1）若a为实...

解：（1）F（x）=sinx+cosx+2asinxcosx，
令sinx+cosx=t，t∈[1，2]，则2sinxcosx=t2-1，
F（x）=m（t）=at2+t-a，t∈[1，2]．…2分
①当a＜0时，m（t）=at2+t-a=a(t+12a)2-14a-a是开口向下，对称轴t=-12a的抛物线．
若t=-12a≥1+22，即1-2≤a＜0，则h（a）=m（1）=1．
若t=-12a＜1+22，即a＜1-2，则h（a）=m（2）=a+2．…4分
②当a=0时，m（t）=at2+t-a是[1，2]上的增函数，h（a）=m（1）=1．
③当a＞0时，m（t）=at2+t-a=a(t+12a)2-14a-a是开口向上，
对称轴t=-12a＜0的抛物线，故在区间[1，2]上是增函数，所以h（a）=m（1）=1．…7分
综上所述，h（a）=a+2，a＜1-21，a≥1-2 …8分
（2）令sinx+cosx=t，t∈[1，2]，
|a f（x）-g（x）-3|=|a（sinx+cosx）-2sinxcosx-3|
=|t2-at+2|≥12，t∈[1，2]，…10分
∴t2-at+2≥12，或t2-at+2≤-12．
∴a≤t+32t，或a≥t+52t． …12分
当t∈[1，2]时，t+32t∈[6，52]，t+52t∈[942，72]． …14分
∴a≤52，或a≥942．…16分．