请证明(sinX+X)⼀X是有界函数?

|(sinx+x)/x|=|sinx/x + 1|≤|sinx/x|+1
下面只需证明|sinx/x|有界就行了

当|x|≥1时该函数有界性是显然的，
当|x|<1时，先考虑(0,1)内，设f(x)=x-sinx
f '(x)=1-cosx>0，因此函数在(0，1]单调增，f(x)>f(0)=0
即在(0,1)上，x>sinx，因此sinx/x在(0,1)上有界，|sinx/x|<1。
由于sinx/x是偶函数，因此在(-1，0)上也有界，|sinx/x|<1

综上，(sinx+x)/x是有界函数。

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f(X)=|x(sinX+X)/X=sinX/X+1
当X趋于∞时，lim(sinX/X+1)=1,故存在M，当|X|》M，有|f(X)|《2
当X趋于0时，lim(sinX/X+1)=2,故存在N，当|X|对于区间[-M,-N]以及区间[N,M],由于f(X)在区间连续，故有界。
于是：f(X)在区间（-∞，+∞）有界

y=(x+sinx)/x
=1+sinx / x
x趋于0,y=2
x=正无穷，y=1
x=负无穷，y=1
y区间为（1,2）
y=(x+sinx)/x是有界函数

|(sin x+x)/x|<=|siinx/x|+1<=|1/x|+1,具体过程就不用了吧

不是，X=0时为无穷大