已知函数 f(x)= 2 x -1 2 x +1 ，（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断并用定义证明f（

2025-06-21 20:30:38

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回答1：

（1）∵函数 f(x)=

2 x -1

2 x +1

的定义域为R，
且 f(-x)=

2 -x -1

2 -x +1

1-2 x

1+2 x

=-f（x）
∴函数 f(x)=

2 x -1

2 x +1

为奇函数
（2）任取（-∞，+∞）上两个实数x₁ ，x₂ ，且x₁ ＜x₂ ，
则x₁ -x₂ ＜0， 2 x 1 +1 ＞0， 2 x 2 +1 ＞0，
则f（x₁ ）-f（x₂ ）=

2 x 1 -1

2 x 1 +1

2 x 2 -1

2 x 2 +1

2( 2 x 1 - 2 x 2 )

( 2 x 1 +1)?( 2 x 2 +1)

＜0
即f（x₁ ）＜f（x₂ ）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；