已知一次函数y=(3分之根号3）x+3分之2倍根号3与x轴,y轴分别相交于A,B,E是直线AB上的点,EF垂直x轴于F

我虽然不能证明当OM垂直于直线AB时OM+MN取得的是最小值，但是姑且当它是最小值吧，至少比当M、N、A点重合时的情况要小。
设M点坐标为（x，y）
要想使MN最小必须使其垂直于x轴，所以MN=y的绝对值
当OM垂直于AB时三角形AMO为Rt三角形，所以OM²+MA²=AO²
因为A点为直线AB与x轴的交点，所以可知此时y=0，可求得x=-2
OM=√(x²+y²) MA=√((x+2)²+y²) AO=2
代入OM²+MA²=AO²，之后将直线公式代入，可求得x=-1/2，y=√3/2
既M点坐标（-1/2，√3/2），MO+MN=√(x²+y²) +y=1+√3/2

第二问中OB=2BF这显然不可能，因为B为直线与y轴交点，所以它到x轴最短的距离就是BO，而F又在x轴上，不论F怎么移动，都不可能使OB=2BF，你再看看是不是抄错题了？

y=x*√3/3+2
令x=0.y=2
B(0,2)
令y=0.x=-2√3
A(-2√3,0)
AB=√(-2√3^2+2^2)=4
△AOB中
sin角ABO=2√3/4=√3/2
角ABO=60,角BAO=30
AB为底边，
在三角形ABC中可知
C到AB的距离为tan30*4=4√3/3
AC=BC=8√3/3
当C在AB的左上方时
因为，角CBA=30
所以角CB0=角CBA+角ABO=90
所C点横坐标为8√3/3
而角CAO=角BAO+角CAB=60
作C点在X轴的垂线CH
可得CH=4
C(-8√3/3,4)
当C点在AB右下方时，
因为角BAC=角BAO=30
所以C点在X轴上
因为角ABO=60>角ABC=30
所以C点在AO上
CO=2√3/3
C(-2√3/3,0)
完成！
你也可以根据点到直线的距离公式
|√3/3+by0+c|/√(a^2+b^2