已知函数f（x）= 1-a+lnx x ，a∈R（I）求f（x）的极值；（II）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒

2025-05-17 13:05:02

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回答1：

（Ⅰ）∵ f / (x)=

a-lnx

x 2

，令f^/ （x）=0得x=e^a
当x∈（0，e^a ），f^/ （x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e^a ，+∞），f^/ （x）＜0，f（x）为减函数，
可知f（x）有极大值为f（e^a ）=e^-a
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需

lnx

＜k 在（0，+∞）上恒成立，
设 g(x)=

lnx

(x＞0). 由（Ⅰ）知， g(x)在x=e处取最大值

，∴ k＞

（Ⅲ）∵e＞x₁ +x₂ ＞x₁ ＞0，由上可知 f(x)=

lnx

在（0，e）上单调递增，
∴

ln( x 1 + x 2 )

x 1 + x 2

＞

ln x 1

x 1

即

x 1 ln( x 1 + x 2 )

x 1 + x 2

＞ln x 1 ①，
同理

x 2 ln( x 1 + x 2 )

x 1 + x 2

＞ln x 2 ②
两式相加得ln（x₁ +x₂ ）＞lnx₁ +lnx₂ =lnx₁ x₂ ∴x₁ +x₂ ＞x₁ x₂