求助一道数列题

正确的结果应该是ln2

构造函数f(x)=(1^n+2^n...+x^n)/(n*2^n) 显然f(1)=Sn（n→+∞）
对f(x)求导，f’(x)＝1/2+x/4+x^2/8...+x^(n-1)/2^n 这是个可求和的等比数列，首项1/2,公比为x/2，求出来取极限就是f'(x)，再对f'(x)积分，求出来加上常数C，就是它的原函数f(x)，这时f(x)中没有了n，代入1，即得结果。

求和，f’(x)=1/(2-X),f(x)=∫1/(2-x) dx + C=－∫1/(2-x) d(2-x) +C=－ln(2-x) +C(x只是引入的辅助变量，范围不影响解题，可令它的范围为[0，2））
又可知f(0)=0，所以c=ln2，f(x)=ln2-ln(2-x) Sn=f(1)=ln2

an=x^n/(n*2^n)
Sn=∑(n由1到无穷)an=∑(n由1到无穷）∫[x^(n-1)/2^n]dx=-In(2-x)+c
当x=0时候，an=0=-In2+c=0 c=In2
令x=1 所以，Sn=c=In2

看f（x）＝∑x^n／（n2^n）.（∑是对n＝1,2,……求和，以下都是。）
f′（x）＝∑x^（n-1）／2^n. （-2＜x＜2）
＝（1/2）[1/（1-x/2）]
＝1／（2-x）.
f（x）＝-㏑（2-x）+c.
注意f（0）＝0＝-㏑2+c.c＝㏑2
∴f（x）＝㏑2－㏑（2-x）.
取x＝1,得∑1/（n2^n）＝㏑2.

你的题目不太懂
An=n乘以2的n此方分之1 是吗？
a1=1/2^1
a2=1/(2*2^2)
a3=1/(3*2^3)
...
令f(n)=1*a1+2*a2+3*a3+...+n*an=1/2+1/2^2+1/2^3+...1/2^n=1-1/2^n
然后变换得到g(n)=a2+2*a3+3*a4+...+(n-1)an+na(n+1)
f(n)-g(n)=Sn-na(n+1)
然后求极值
大致思路就是这样了

令bn=an*x^n, f(x)=∑(1,+∞)bn
求得这个幂级数f(x)=ln2-ln(2-x)
当x=1时,bn=an
f(1)=lim(n→+∞)Sn=ln2