非单调函数证明

令f(x)=0,只要证明无实根就行了
例如你的例子：
令x+a/x+1=0 x不等于0(x!=0)
x^2+x+a=0
b^2-4ac=1-4a
因为a>0
1-4a<0
所以x+a/x+1=0无实根
所以f(x)不是单调函数

这个提法感觉有点怪，

单调性都是说在某个区间上的，你必须说明在哪个区间，比如正弦函数有单调性吗？如果在R上不是单调的，但在--pi/2。。。pi/2上就是单调增函数，所以你必须先指定一个区间。

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在选定一个区间后，按照定义去判断增减还是非单调函数。似乎没有别的方法，除了定义。
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在回到你的问题，
首先函数定义域是R-0，是奇函数；因此只要判定在x>0上的单调性就可以了，在x<0上时相同的。

取0f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+a*(x1-x2)/x1x2=(x2-x1)*(x1x2-a)/x1x2;

可见符号取决于x1x2-a的正负，显然，当x=a时，f(x)是增函数；但在R+上显然没有单调性。

负区间可利用对称性判断。

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很大多数的函数，只有你选定合适，比如合适窄的区间，总能找到它的单调性
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比如一条高速公路，总会发现有很多地方上坡和下坡