这道题的答案是C.2k或2k-1/4 (k∈Z)。
首先要明白这个定义在R上的偶函数f（x）究竟是怎么样一个情形，我们可以把f(x)在平面直角坐标系中画出来，f(x)是偶函数，知道它关于x=0对称，同时它又关于x=1对称，所以可以知道f（x）是一个周期函数，并且最小正周期是2.又知它在【-1，1】上的图像是f（x）=X^2，所以可以由数形结合的方法得出答案：
第一种，直线y=x+a与曲线y=f(x)没有切点，只是有两个交点，这两个交点是（2k，0）和（2k+1，1）。这时a的值为2k；
第二种，直线y=x+a与曲线y=f(x)有一个切点和一个交点，这时把直线方程代入曲线方程，可以得出a的值是2k-1/4 (k∈Z)
这道题主要是考察数形结合和抽象函数的知识，如果要对这类题目有比较深入的理解，必须明白各种符号表示的抽象函数的定义和性质，另外还要善于画函数图像，这样才能做到万无一失，呵呵
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