关于对数函数的数学题

解：

（1）因为f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)，为使对数有意义，令

1-x>0，1+x>0，

解之，-1

故函数f(x)的定义域为(-1, 1)。

（2）定义域关于原点对称，对任意x∈(-1, 1)，

f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x)，

故f(x)为奇函数。

（3）

 设g(x)=f(x)-(x+1)=log2(1-x)-log2(1+x)-x-1，显然g(x)在(-1, 1)内是减函数，（单调）

    g(-1/2)=log2(3/2)-log2(1/2)-1/2=log2(3)-1/2>log2(2)-1/2=1-1/2=1/2>0，

    g(1/2)=log2(1/2)-log2(3/2)-3/2=-log2(3)-3/2<0，

    g(x)在区间[-1/2, 1/2]两端异号，由连续性，g(x)=0在区间(-1/2, 1/2)内必有实根，即方程f(x)=x+1在区间(-1/2, 1/2)内有实根x0。

    下面用折半法求x0更精确一些的区间。

    因为g(0)=-1<0，g(-1/2)*g(0)<0，所以x0在区间(-1/2, 0)内。

    g(-1/4)=log2(5/4)-log2(3/4)-3/4=log2(5/3)-3/4，因为(5/3)^4=625/81<640/80=8=2^3，所以4*log2(5/3)<3，log2(5/3)<3/4，g(-1/4)=log2(5/3)-3/4<0，g(-1/2)*g(-1/4)<0，所以x0在区间(-1/2, -1/4)内。

所以，区间(-1/2, -1/4)即为所求。

 也可以用图像法来解。

    在同一个坐标系中做出y1=f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)的图像与y2=x+1的图像，如图所示，两者有交点，说明方程f(x)=x+1在(-1, 1)内有实数解。（有图像观察，交点的横坐标大致在-0.25附近，可取a=-3/8，b=-1/8。）由于图像法的误差大，如果不是计算机绘图，会很不准确。