证明：令F(x)＝
f(t)dt，0≤x≤π，有F（0）=0，
∫
由题设有F（π）=0．
又由题设
f(x)cosxdx＝0，
∫
用分部积分有
0＝
f(x)cosxdx＝
∫
cosxdF(x)=F(x)cosx
∫
+
|
F(x)sinxdx=
∫
F(x)sinxdx
∫
由积分中值定理知，存在ξ∈（0，π）使
0＝
F(x)sinxdx＝F(ξ)sinξ?(π?0)
∫
因ξ∈（0，π），sinξ≠0，所以推知存在ξ∈（0，π），使得F（ξ）=0．
再在区间[0，ξ]与[ξ，π]上对F（x）用罗尔定理，推知存在ξ1∈（0，ξ），ξ2∈（ξ，π），使
F'（ξ1）=0，F'（ξ2）=0，即
f（ξ1）=0，f（ξ2）=0．
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