如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A、B两点,Q为A、B中点,(1)求抛物线的

2025-06-21 04:58:31
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回答1:

(1)∵抛物线的方程是y2=4x,
∴2p=4,可得

p
2
=1,抛物线的焦点坐标为(1,0),准线方程是x=-1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),
根据抛物线的定义,可得|AF|=x1+
p
2
,|BF|=x2+
p
2

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2
∵Q为A、B中点,
∴x1+x2=2x0,且y1+y2=2y0.因此可得|AB|=2x0+2
∵A、B两点在抛物线y2=4x上,
∴y12=4x1,且y22=4x2,两式相减,再分解得:
(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
∴直线AB的斜率为KAB
y1 ?y2
x1 ?x2
4
y1+y2
= 
2
y0

因此,中垂线斜率满足Km?
2
y0
=?1
,所以Km=?
y0
2

∴直线m的方程为y?y0=?
y0
2
(x?x0)

令y=0,得P点横坐标为:xp=x0+2
所以|PF|=xp-1=x0+2-1=x0+1
∴|AB|=2(x0+1)=2|PF|