双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
目录
定义
双曲线的标准方程
重要概念和性质分支
焦点
准线
离心率
顶点
渐近线
双曲线的简单几何性质2、对称性：
3、顶点：
4、渐近线：
5、离心率：
6、双曲线焦半径公式
7、等轴双曲线
8、共轭双曲线
9、准线：
10、通径长：
12、弦长公式：
13.双曲线内、上、外
三角形面积公式
双曲线参数方程定义
双曲线的标准方程
重要概念和性质 分支
焦点
准线
离心率
顶点
渐近线
双曲线的简单几何性质 2、对称性：
3、顶点：
4、渐近线：
5、离心率：
6、双曲线焦半径公式
7、等轴双曲线
8、共轭双曲线
9、准线：
10、通径长：
12、弦长公式：
13.双曲线内、上、外
三角形面积公式
双曲线参数方程
展开编辑本段定义
定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线。 定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点 定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线 定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。 定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。 1.a、b、c不都是零. 2. b^2 - 4ac > 0. 3.a^2+b^2=c^2 在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. 上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
编辑本段双曲线的标准方程
1，焦点在X轴上时为： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 2，焦点在Y 轴上时为： y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
编辑本段重要概念和性质
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。
分支
双曲线有两个分支。
焦点
在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。
准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线
离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。 双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）
顶点
双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。
渐近线
双曲线有两条渐近线。
编辑本段双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围： │x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
2、对称性：
关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：
A(-a,0)， A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a. B(0,-b）， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c 对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2
4、渐近线：
焦点在x轴：y=±（b/a)x. 焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。 令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e) 令θ=0，得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e 这两个x是双曲线定点的横坐标。 求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 （注意化简一下） 直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)] 则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)] 代入上式： ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中 设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则 y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a) 因为x^2-a^2
第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）. 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e
6、双曲线焦半径公式
（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离） 左焦半径：r=│ex+a│ 右焦半径：r=│ex-a│
7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）
8、共轭双曲线
双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 几何表达：S：（x^2/a^2）-(y^2/b^2）=1 S'：（y^2/b^2）-(x^2/a^2）=1 特点：（1）共渐近线 ；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
9、准线：
焦点在x轴上：x=±a^2/c 焦点在y轴上：y=±a^2/c
10、通径长：
（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦） d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式： d=2pe/（1-e^2cos^2θ）
12、弦长公式：
d = √（1+k^2）|x1-x2| = √（1+k^2）(x1-x2）^2 = √（1+1/k^2）|y1-y2| = √（1+1/k^2）(y1-y2）^2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2） / (x1 - x2） 得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）/k 分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2）^2; + (y1 - y2）^2; ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√（1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k^2;) ·双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a （a≠0，顺时针） （a为双曲线渐进线的倾斜角） 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2 = （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 （√2/2 x) （√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
13.双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2/a^2-y^2/b^2>1； 在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2/a^2-y^2/b^2=1； 在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。
编辑本段三角形面积公式
若∠F1PF2=θ， 则S△F1PF2=b^2*cot（θ/2）或S△F1PF2=b^2*/tan（θ/2） ·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2-y^2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 少？ 解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2*cot（θ/2） =√3 设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=1/2*h*2√2;h=√6/2
编辑本段双曲线参数方程
双曲线的参数方程：x=a*sec θ (正割) y=b*tan θ ( a为实半轴长， b为虚半轴长， θ为参数。）
应是第二定义。
平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹就是圆锥曲线。
定点就是焦点，定直线是准线，这个常数e就是圆锥曲线的离心率e。
当e>1是为双曲线
平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹,且e>1
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