求解复变函数方程sinz=2

z=a+ib

2=sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)=[e^(ia-b)-e^(-ia+b)]/(2i)

4i=e^(-b)(cosa+isina)-e^b(cosa-isina)

对比实部，虚部得：

0=e^(-b)cosa-e^bcosa

因为b<>0

所以有cosa=0

有sina=1

或-1

4=e^(-b)sina+e^bsina

sina=-1时，无解，所以只能取sina=1

得：e^b+e^(-b)=4

解得：e^2b-4e^b+1=0

得：e^b=2+√3

2-√3

得：b=ln(2+√3)

ln(2-√3)

由cosa=0,

sina=1,

得：a=2kπ+π/2

所以z=a+ib,

a=2kπ+π/2,

b=ln(2+√3),

ln(2-√3)

发展简况

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

z=a+ib
2=sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)=[e^(ia-b)-e^(-ia+b)]/(2i)
4i=e^(-b)(cosa+isina)-e^b(cosa-isina)
对比实部，虚部得：
0=e^(-b)cosa-e^bcosa, 因为b<>0, 所以有cosa=0, 有sina=1, 或-1
4=e^(-b)sina+e^bsina, sina=-1时，无解，所以只能取sina=1, 得：e^b+e^(-b)=4, 解得：e^2b-4e^b+1=0, 得：e^b=2+√3, 2-√3, 得：b=ln(2+√3), ln(2-√3)
由cosa=0, sina=1, 得：a=2kπ+π/2
所以z=a+ib, a=2kπ+π/2, b=ln(2+√3), ln(2-√3)