求证取整函数f（x）=【x】不是周期函数

2025-06-22 07:49:51

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回答1：

反证法：
设x的整数部分为xi，小数部分为xd。f(x)的周期为t ,t的整数部分为ti，小数部分为td。k为任意整数
则x=xi+xd，t=ti+td
f(x)=【x】=【xi+xd】=xi
f(x+k*t)=【x+k*t】=【xi+k*ti+xd+k*td】=xi+k*ti+【xd+k*td】
要求f(x+k*t)=f(x)则必须ti=0且xd+k*td为纯小数，由于k为任意整数，则必有td=0
因此t=ti+td=0
因此f(x)不是周期函数

回答2：

任取实数T>0
如果T是整数, f(x+T)=[x+T]=[x]+T≠[x]，故整数T不是周期
设T不是整数，T=[T]+{T} {T}>0为T的小数部分
f(x+T)=[x+T]=[x+{T}]+[T]》[x]+[T]≠[x]，故T不是周期
所以：取整函数不是周期函数