楼上正解，但……既然是向量题，那就应该用向量来解：
向量AP=a*向量AM
=a*（向量AC+向量CM）
=a*向量AC+1/2a*向量CB
同时
向量AP=向量AN+向量NP
=2/3*向量AC+b*向量NB
=2/3*向量AC+b*向量NC+b*向量CB
=2/3*向量AC+1/3b*向量AC+b*向量CB
=（2/3+1/3b）*向量AC+b*向量CB
由平面向量基本定理（不知楼主学了没有）
平面中任意向量可由不共线的两个向量唯一线性表示
所以有
a=2/3+1/3b
1/2a=b
解出a=4/5
所以向量AP=4/5向量AM
所以向量PM=1/5向量AM
所以向量AP=4向量PM
过M作MD平行AC，交BN于点D
点M是BC的中点 MD/CN=1/2 AN=2NC
MD/AN=1/4 MP/PA=1/4
向量AP/向量PM=4
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