高中数学题，高手进

这题得分析函数图像性质，明显定义域为R，也不是基本初等函数，那就考虑导数。f'(x)=1-x+x^2-x^3+…-x^2011+x^2012，如果导数恒大于或小于零，那就好办了。这里考验估算的能力，当x<=0时，显然f'(x)>0，当x>0时，稍微复杂些，x>=1时，提取因式(x-1),f'(x)=1+(x-1)·x+(x-1)·x^3+…+(x-1)·x^2011=1+(x-1)(x+x^3+…+x^2011)>0，00。因此，f'(x)恒大于0，函数递增，考虑到当x取足够小和足够大时，f(x)能取负值和正值，画图得到只有一个零点。

f'(x)=0+1-x+x^2-x^3+...+x^2012
=[1-(-x)^2013] / [1-(-x)]
=(1+x^2013) / (1+x)
当x＜-1时，上式＞0；当x＞-1时，上式＞0
x=-1时，f‘（-1）=1+1+1+1+...+1>0，
所以f’（x）>0恒成立，
所以原函数在实数范围内为增函数，
且f(x=-1)=1-1-1/2-1/3-1/4-……-1/2013＜0
f(x=0)=1＞0
所以原函数的零点个数是1个。