求X^3-Y^3=XY+113的正整数解

X^3-Y^3=(X-Y)(X^2+XY+Y^2)=XY+113
因为X,Y均为正整数，XY+113>0，X^2+XY+Y^2>0，所以X>Y
令X-Y=a，a为正整数
则a[X^2+X(X-a)+(X-a)^2]=X(X-a)+113
3aX^2-3a^2X+a^3=X^2-aX+113
移项合并同类项得关于X的一元二次方程（a为参数）
(3a-1)X^2-a(3a-1)X+(a^3-113)=0
因为X为正整数，由求根公式知
多项式a^2(3a-1)^2-4(3a-1)(a^3-113)有整数平方根
可以看出此多项式有一个因式（3a-1)，所以可以分解因式得
（3a-1)（-a^3-a^2+452)，由于a为正整数，所以3a-1>0，又此多项式有平方根，
所以-a^3-a^2+452>0，即a^2(a+1)<452
由于a^2(a+1)随a增大而增大，当a=8时a^2(a+1)=576>452，不可取
a=7，（3a-1)（-a^3-a^2+452)=20*160=320，无整数平方根，不可取
a=6，（3a-1)（-a^3-a^2+452)=17*200，无整数平方根，不可取
a=5，（3a-1)（-a^3-a^2+452)=14*302，无整数平方根，不可取
a=4，（3a-1)（-a^3-a^2+452)=11*372，无整数平方根，不可取
a=3，（3a-1)（-a^3-a^2+452)=8*416，无整数平方根，不可取
a=2，（3a-1)（-a^3-a^2+452)=5*440，无整数平方根，不可取
a=1，（3a-1)（-a^3-a^2+452)=2*450=900，有整数平方根，可取！
所以a只能取1，此时代入参数值，关于X的方程为
2X^2-2X+112=0
X^2-X+56=0
(X-8)(X+7)=0
又X>0，所以X=8
Y=X-a=8-1=7
得解。