阿Q吧 > 已知函数f(x)＝eaxx2+xa+1a?3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)＝bx(b∈R)．（1）当a＞14时，求f（x）的单调区间

已知函数f(x)＝eaxx2+xa+1a?3e249(a∈R，a≠0，)，g(x)＝bx(b∈R)．（1）当a＞14时，求f（x）的单调区间

2025-06-20 12:16:40

推荐回答（1个）

回答1：

（1）f′(x)＝

eax(ax2?x+

a?1

)

(x2+

，因e^ax＞0且a＞

，故只需讨论ax2?x+

a?1

的符号
所以 ①当a≥

时，f′（x）≥0，f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数
②当

＜a＜

时，令f′（x）=0解得x1＝

5?4a

，x2＝

5?4a

．
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

(?∞，

5?4a

)

5?4a

(

5?4a

，

5?4a

)

5?4a

(

5?4a

，+∞)

f'（x）

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴f（x）在(?∞，

5?4a

)，(

5?4a

，+∞)，为增函数，
f（x）在(

5?4a

，

5?4a

)为减函数． …（6分）
（2）考查反面情况：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即h(x)＝

x2+x+1

3e2

?bx≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．
首先h(2)＝

3e2

?2b≥0，即b≤

2e2

，其次，h′(x)＝

ex(x2?x)

(x2+x+1)

?b，考虑M(x)＝

ex(x2?x)

(x2+x+1)

因M′(x)＝

ex(x2+x+1)[x3